Divergencia (vektoranalízis) forrásának megtekintése

A '''divergencia''', ahogy a [[rotáció]], a [[vektoranalízis]] egyik [[differenciáloperátor]]a. Mind [[differenciálgeometria]]i, mind [[fizika|fizikán]] belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis '''térfogat'''ból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha '''forráserősség'''nek is nevezik a középiskolai fizikatankönyvek.

Másrészt a [[differenciálegyenlet]]ek elméletében gyakran csak koordinátáival hivatkoznak rá, ami annak köszönhető, hogy kifejezhető [[parciális derivált]]ak összegeként.

== Háromdimenziós eset ==

Legyen '''v''' : '''R'''<sup>3</sup><math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>3</sup> egy nyílt halmazon értelmezett [[teljes differenciál|differenciálható]] függvény ''(vektormező)''. Tekintsük valamely '''r''' pontban a '''v''' [[Fréchet-derivált]]jának sztenderd bázis szerinti koordinátamátrixát ([[Jacobi-mátrix]]). E mátrix főátlóbeli elemeinek összegét ([[spur]]ját vagy [[nyom (mátrix)|nyomát]]) nevezzük a '''v''' divergenciájának:
:<math>\operatorname{div}\;\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}</math>
ahol v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub>, v<sub>z</sub> a '''v''' három koordinátafüggvénye, mellyel '''v'''=(v<sub>x</sub>, v<sub>y</sub>, v<sub>z</sub>). Belátható, hogy ez a szám bázisfüggetlen. Akármilyen bázisban is írjuk fel a divergencia értékét, mindig ugyanaz a szám lesz. Ezt jól jellemzi, hogy a divergencia kifejezhető bázisoktól független módon is, határértékként:
:<math>\operatorname{div}\; \mathbf{v}=\lim\limits_{\mathcal{F}\to \mathbf{r}}\frac{1}{V}\int\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}</math>
ahol ''F'' az '''r''' pontot körülölelő, egyszeresen összefüggő tartományt bezáró felület, a bezárt tartomány térfogata V és ∫'''v''' d'''F''' pedig a '''v'''-nek az ''F'' felületre vonatkozó felületi integrálja ([[fluxus]]).

A divergencia előbbi kifejezéséből következik a következő integrálátalakító formula, melyet '''divergenciatétel'''nek vagy '''matematikai Gauss-tétel'''nek neveznek:
:<math>\int\limits_{V}\operatorname{div}\,\mathbf{v}\,dV = \oint\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}</math>
azaz egy vektormező divergenciájának térfogati integrálja egy egyszeresen összefüggő tartományra egyenlő a vektormezőnek a tartomány zárt határfelületére vett felületi integráljával.

== Általános eset ==
Tekintsünk egy ''E'' véges dimenziós [[normált tér|normált teret]] és benne egy nyílt halmazon értelmezett ''v'' : ''E''<math>\mapsto</math>''E'' [[teljes differenciál|differenciálható]] függvényt. Az ilyen függvényt is ''vektormező''nek neveznek. Ekkor létezik egy kitüntetett lineáris leképezés Hom(E,E)-ben, melyet kanonikus nyomformának nevezünk és '''Tr'''-rel ([[Trace]]) vagy '''Sp'''-val ([[Spur]]) jelölünk. Ezt az tünteti ki, hogy minden ''x'' ∈ ''E'' elemre és ''A'' ∈ Hom(E,E) invertálható leképezésre teljesül:
:<math>\operatorname{Tr}(AxA^{-1})=\operatorname{Tr}(x)\,</math>
azaz a bázistranszformációra nézve invariáns.
A ''v'' függvény divergenciája egy ''a'' pontban definíció szerint, a nyomforma és a differenciál kompozíciója:
:<math>\operatorname{div}\,\mathrm{v}= \mathbf{Tr}\circ D\mathrm{v}(a)</math>
Mivel a differenciál (deriválttenzor) is invariáns a bázistranszformációra, ezért a divergencia is az.

== Indexes írásmód ==

A divergencia, mint '''v''' <math>\mapsto</math> div '''v''' differenciáloperátor kifejezhető a ∇ (nabla) formalizmussal. Eszerint,
<math>\operatorname{div}\,\mathbf{v}=\nabla\cdot \mathbf{v}</math>
skalárszorzással, vagy az indexes írásmódban, illetve az Einstein-konvenció értelmében:
:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^3\partial_i v_i=[\mbox{Einstein-konv.}]=\partial_i v_i</math>

== Azonosságok ==

* <math>\operatorname{div}\,\vec{c} = 0</math>
* <math>\operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) =c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}</math>
* <math>\operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{div}\,\vec{F}+\operatorname{div}\,\vec{G}</math>
* <math>\operatorname{div}\,(u\cdot\vec{F}) =\operatorname{grad}\,u\cdot\vec{F}+u\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}</math>
* <math>\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\,\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\,\operatorname{rot}\,\vec{G}</math>

==További információk==
[http://ertedmar.hu/cikkek/divergencia A divergenciáról szemléletesen (magyar)]

{{Portál|Fizika|-|Matematika}}
[[Kategória:Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis]]
[[Kategória:A fizika matematikája]]