Dirichlet-féle L-függvény forrásának megtekintése

A [[matematika|matematikában]] a '''Dirichlet-féle ''L''-sor''' egy

:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.</math>

alakú függvény, ahol χ egy [[Dirichlet-karakter]], és  ''s'' komplex szám, aminek valós része nagyobb, mint 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető a teljes komplex síkon [[meromorf függvény|meromorf függvénnyé]]. Ez a '''Dirichlet-féle ''L''-függvény'''. Jelölése ''L''(''s'', χ).

Ezeket a függvényeket [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] után nevezték el, aki egy 1837-es cikkében vezette be őket, hogy bebizonyítsa a [[számtani sorozat]]okban előforduló prímekről szóló tételt, amit szintén róla neveztek el. A bizonyításban belátja, hogy ''L''(''s'', χ) ''s'' = 1-ben nem nulla. Sőt, ha χ principális, akkor ''s'' = 1-ben elsőrendű pólusa van.
==Gyökök==
Ha a χ primitív karakter értéke χ(&minus;1) = 1, akkor ''L''(''s'',χ)-nek gyökei a páros negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke.
Ha a χ primitív karakter értéke χ(&minus;1) =  &minus;1, akkor ''L''(''s'',χ)-nek gyökei a páratlan negatív egészek, és nincs más negatív valós részű gyöke.

A Riemann-féle zéta-függvényhez hasonlóan nincsenek gyökök a Re(''s'') = 1 tartományon és azon túl. Például, ha χ a ''q'' modulus nem valós karaktere, akkor ha

:<math> \beta < 1 - \frac{c}{ \log \big(q(2+|\gamma|)\big)} \ </math>

akkor  β + iγ egy nem valós komplex gyök.<ref>{{cite book | last=Montgomery | first=Hugh L. | author-link=Hugh Montgomery (mathematician) | title=Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis | series=Regional Conference Series in Mathematics | volume=84 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1994 | isbn=0-8218-0737-4 | zbl=0814.11001 | page=163 }}</ref>

Ahogy a [[Riemann-féle zéta-függvény]]hez tartozik a Riemann-hipotézis, úgy a Dirichlet-féle L-függvény az [[általánosított Riemann-hipotézis]]nek engedelmeskedik. 
==Euler-szorzat==
Mivel a χ egy Dirichlet-karakter, azért χ teljesen multiplikatív, és ''L''-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként:
:<math>L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}\text{ for }\text{Re}(s) > 1,</math>

ahol a szorzat befutja az összes prímet.<ref>{{harvnb|Apostol|1976|loc=Theorem 11.7}}</ref>

==Függvényegyenlet==

Tegyük fel, hogy χ a ''k'' modulus primitív karaktere. Definiáljuk a következőket:

:<math>\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),</math>

ahol Γ a [[gamma-függvény]] és az ''a''-t meghatározza az

:<math>a=\begin{cases}0;&\mbox{ha }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{ha }\chi(-1)=-1,\end{cases}</math>

egyenlet. Ekkor teljesül a következő [[függvényegyenlet]]:

:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).</math>

Itt τ(χ)a [[Gauss-összeg]]

:<math>\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).</math>

Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = ''k''<sup>1/2</sup>.

==Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel==
A Dirichlet-féle ''L''-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken.
Rögzítve a ''k'' ≥ 1 egészet, a modulo ''k'' karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók  ζ(''s'',''q'') konstans együtthatós lineáris kombinációjaként, ahol ''q'' = ''m''/''k'' és ''m'' = 1, 2, ..., ''k''. Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel.
Speciálisan, legyen &chi; egy modulo ''k'' karakter. Ekkor Dirichlet-féle ''L''-függvénye:

:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}
= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).</math>
Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle ''L''-függvénye a (ekkor a ''k'' modulus prím) a [[Riemann-féle zéta-függvény]]:
:<math>\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).</math>

==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}
==Források==
* * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-90163-3}}
*{{dlmf|id=25.15|first=T. M.|last=Apostol}}
* {{cite book|author=H. Davenport
| title=Multiplicative Number Theory
|publisher=Springer
|year=2000
|isbn=0-387-95097-4}}
* {{Cite journal
| last=Dirichlet
| first=P. G. L.
| author-link=Peter Gustav Lejeune Dirichlet
| title=Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält
| journal=Abhand. Ak. Wiss. Berlin
| volume=48
| year=1837
| ref=harv
| postscript=.
}}
* {{springer|title=Dirichlet-L-function|id=p/d032890}}

{{fordítás|en|Dirichlet L-function}}

[[Kategória:Számelmélet]]